第十一章 机械波和电磁波

谐振动在介质中传播形成的波.

平面简谐波传播时,介质中各质点都作同一频率简谐振动;在任一时刻处在同一波面上的各点具有相同的振动状态.

\[\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}\] 任何物理量 \(y\) 满足这一方程, 则该物理量按波的形式传播, \(u\) 为波速.

介质无吸收且各向同性:

\[\sum_{i = x, y, z}\frac{\partial^2\xi}{\partial i^2} = \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2\xi}{\partial t^2}\] 其中 \(\xi\) 代表振动位移.

=> 球面波波动方程 \[ \frac{\partial^2 (r\xi)}{\partial r^2} = \frac{1}{u^2}\frac{\partial(r\xi)}{\partial t^2} \]

固体中能产生体变(纵波),切变(纵波),线变(横波).

流体(液体或气体)只能产生体变(纵波).

以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例

\[W_p = W_k = \frac{1}{2}\rho\Delta V A^2\omega^2\sin^2\omega \left( t - \frac{x}{u} \right)\] \[W = W_p + W_k = \rho\Delta V A^2\omega^2\sin^2\omega\left( t - \frac{x}{u} \right)\]

能量密度

\[w = \frac{W}{\Delta V} = \rho A^2\omega^2\sin^2\omega\left( t - \frac{x}{u} \right)\]

平均能量密度

能量在一个周期内的平均值 \[\bar{w} = \frac{1}{2}\rho A^2\omega^2\] 弹性波的能量与振幅的平方,频率的平方都成正比.

能流 \(P\)

单位时间内通过介质中某面积的能量, \[P = w S u\]

平均能流

能流在一个周期内的平均值 \[\bar{P} = \bar{w}Su = \frac{1}{2}\rho A^2 w^2 Su\]

平均能流密度 (波的强度)

通过垂直于波传播方向的单位方向的平均能流. 易得:平均能流是波强的通量. \[I = \frac{\bar{P}}{S} = \bar{w}u = \frac{1}{2}\rho u\omega^2A^2 = \frac{1}{2}Z \omega^2 A^2\] 其中 \(Z= \rho u\) 为介质的特性阻抗.

国际单位中, 波强的单位为 W/m²

通过两平面的平均能流相等时,振幅才会不变. ⇒ 介质不能吸收能量.

\[\xi = \frac{A_0}{r_0}\cos \left[ \omega \left( t - \frac{r}{u} \right)) \right]\] 其中 \(A_0\) 为波在离波源 \(r_0\) 处振幅.

\[A = A_0 \mathrm{e}^{-\alpha x}\Rightarrow I = I_0 \mathrm{e}^{-2\alpha x}\]

振荡偶极子.

赫兹实验,用振荡偶极子实现了发送和接受电磁波.

\begin{cases} \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} = \frac{1}{\epsilon\mu} \frac{\partial^2 E}{\partial x^2}\\ \frac{\partial^2 H}{\partial t^2} = \frac{1}{\epsilon\mu} \frac{\partial^2 H}{\partial x^2} \end{cases}

可得介质中电磁波波速: \[u = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}\]

真空中电磁波波速 (光速): \[c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}\]

自由空间传播的电磁波是横波. \[\sqrt{\epsilon}E = \sqrt{\mu}H \Rightarrow \frac{E}{B} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}} = u\]

频率相同,振动方向相同,相位或相位差相同.

满足相干条件的空间两列波相遇时,在相遇的任一点两个分振动有恒定的相位差.

=> 交叠区域某些点始终增强,另一些点振动始终减弱.从而在空间形成稳定的合振动分布.

两列相干波的合振幅: \[ A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\phi} \] 因为 \(\delta\Phi\) 不随时变, 是空间位置的常量. 故空间中每一确定点的合振幅 \(A\) 是一个恒量.

\[\Delta\phi = \phi_{20} - \phi_{10} - \frac{2\pi}{\lambda}(r_2 - r_1)\]

1. \(\Delta\phi = 2k\pi \ (k = 0, \pm 1, \pm 2,\ldots\), \(A = A_1 + A_2\) 相干加强.
2. \(\Delta\phi =(2k + 1)\pi \ (k = 0, \pm 1, \pm 2,\ldots\), \(A = |A_1 - A_2|\) 相干减弱.
3. 当 \(\Delta\phi\) 取其他值时, 合振幅取中间值, \(|A_1 - A_2| \le A \le A_1 + A_2\)

设波程差 \(\delta = r_1 - r_2\), \(\phi_{20} - \phi_{10}\), 则有 \[\Delta\phi = \frac{2\pi}{\lambda}\delta\]

1. \(\delta = k\lambda (k = 0, \pm 1, \pm 2,\ldots\)\), 相干加强
2. \(\delta = \frac{\lambda}{2} k\lambda (k = 0, \pm 1, \pm 2,\ldots\)\), 相干减弱

又有: \[I = \frac{1}{2}\rho u\omega^2 A^2 \Rightarrow I\propto A^2\] \[A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos\Delta\phi \Rightarrow I = I_1 + I_2 + 2 \sqrt{I_1 I_2}\cos\phi\] 即干涉后空间各点波强重新分布.

两列振幅相等的相干波在同一直线上沿相反方向传播时相干叠加形成的波.

\begin{cases} y_1 = A\cos \left( \omega t - kx \phi_{10} \right)\\ y_2 = A\cos \left( \omega t - kx \phi_{20} \right) \end{cases}

解得: \[y = y_1 + y_2 = 2A\cos \left( kx + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} \right) \cos \left( \omega t + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} \right)\]

故有: 驻波的振幅与位置\(x\)有关,与时间\( t \)无关;各质点都在做同频率的简谐振动.

波节

驻波上某些点始终静止 \[\cos \left( kx + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} \right) = 0\] \[\Rightarrow \frac{2\pi}{\lambda}x + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} = (2k + 1)\pi\] 相邻两个波节位置差: \[\Delta x = \frac{\lambda}{2}\]

波腹

有些点振幅最大 \[\cos \left( kx + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} \right) = 1\] \[\Rightarrow \frac{2\pi}{\lambda}x + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} = k\pi + \frac{\pi}{2}\] 相邻两波腹位置差: \[\Delta x = \frac{\lambda}{2}\]

各点做振幅为 \(2A\cos \left( kx + \frac{\phi_{20} - \phi_{10}}{2} \right)\), 频率为 \(\frac{\omega}{2\pi}\) 的简谐运动.

驻波两相邻波节间的点振动相位相同;驻波波节两边的点振动相位相反.

1. 当各质点达到平衡位置时,介质无形变,势能处处为零,驻波能量为动能. 波腹处动能最大,驻波能量集中在波腹附近.
2. 各质点同时达到最大位移时,动能处处为零,此时驻波能量为势能. 波节处形变最大,势能最大,驻波能量集中在波节附近.

故在振动过程中, 驻波的动能和势能始终存在相互转换. 能量不断从波腹移动到波节, 再从波节移动到波腹. => 驻波能量不存在定向传播.

如果弦线两端固定,波动会在端点处泛酸形成驻波,同时两端固定必为波节.

则弦长应为半波长的整数倍.满足条件的频率对应的驻波称为简正模式.

\[v_R = \sqrt{\frac{c + v}{c - v}}\] \(v\) 表示波源与接收器之间相对运动的距离, 相互接近取正, vice versa.